Sind Zahlen wirklich?
03. Juni 2008
Kategorie: Philosophie | 
3. Oder: Drei. Oder: III
Ist das, was ich da oben hingeschrieben habe, eine „Drei“, vielleicht sogar „Die Drei“? Oder ist es nur ein Zeichen, ein Wort, das für „die Drei“ sozusagen stellvertretend steht? Oder ist es noch weniger als das, ist es nur eine Ansammlung von schwarzen Pixeln auf hellem Grund, oder noch etwas anderes. Aber was wäre dann die drei, wo oder wie existiert sie?
Frege war 1893 der Meinung, Zahlen seien objektiv, aber nicht wirklich. Was ist darunter zu verstehen? Während der Begriff des Objektiven noch relativ leicht zu fassen ist, ist es recht mühselig, einen Begriff des Wirklichen so zu fassen, dass er klar vom Objektiven abgegrenzt werden kann. Objektiv ist das, was unabhängig von unserem Bewusstsein existiert, während wirklich alles ist, was außerhalb unseres Bewusstseins existiert. Objektiv, aber nicht wirklich wäre dann das, was zwar unabhängig, aber nicht außerhalb unseres Bewusstseins existiert.
Um der Schwierigkeit zu entkommen, dass alles, was im Bewusstsein existiert schon in so weit nicht unabhängig vom Bewusstsein ist, dass es aufhören würde, zu sein, wenn es kein Bewusstsein mehr gäbe, muss man das mysteriöse „wir“ in „unserem Bewusstsein“ schon mal präziser durch jeden einzelnen, durch jedes einzelne Bewusstsein ersetzen.
Objektiv ist also alles, was unabhängig von jedem einzelnen Bewusstsein existiert, aber nicht unbedingt von allen. Wirklich ist das, was außerhalb des Bewusstseins ist.
Der Traum eines Freundes ist unabhängig von meinem Bewusstsein, ist für mich also objektiv. Er ist aber nicht wirklich, weil er nur im Bewusstsein des Freundes existiert, und wenn er mir oder einem dritten davon erzählt, ist er auch in unserem Bewusstsein.
Mit der „Drei“ ist es aber nicht dasselbe. Denn der Traum bleibt immer der des Freundes, und in meinem Bewusstsein ist auch gar kein Traum, auch keine Erinnerung an einen Traum, sondern nur eine Erinnerung an eine Erzählung eines Traumes. Die „Drei“, Freges Drei, ist aber in allen unseren Bewusstseinen irgendwie die gleiche. Oder: In jedem Einzelnen Bewusstsein ist eine Spur von jener Zahl, die nicht wirklich in unseren Köpfen ist, aber auch nicht außerhalb unseres Bewusstseins.
Das ist irgendwie schlecht vorstellbar.
Frege selbst hat eine Spur gelegt, die Sellars 60 Jahre später wieder aufgegriffen hat. Wenn man diese Spur weiter verfolgt, gelangt man zu einem plausiblen Ansatz über den Existenzstatus mathematischer Entitäten wie Zahlen, geometrischen Gebilden u.ä.
Frege hat, wenn auch ablehnend, die Zahlen mit Schachfiguren verglichen, oder er hat sich auf solche Vergleiche bezogen. Seine Ablehnung gipfelt in dem Satz: „Zuweilen scheint man die Zahlzeichen wie Schachfiguren anzusehen und die so genannten Definitionen als Spielregeln. Eine Kleinigkeit übersieht man dabei freilich, dass wir nämlich mit 3² + 4² = 5² einen Gedanken ausdrücken, während eine Stellung von Schachfiguren nichts besagt.“
Hier würde ein Schachspieler vermutlich widersprechen. Und so ist das Bild der Schachfiguren im Vergleich zu den Zahlen eine genauere Betrachtung wert. Mit den Schachfiguren hat sich denn auch Sellars bei der Untersuchung „abstrakter Entitäten“ genauer beschäftigt.
Was ist „der Bauer“ im Schach? Er ist als Bezeichner ein Stellvertreter für jedes einzelne Objekt, welches in wirklichen Schachspielen als wirklicher Bauer fungiert. Es gibt eine Äquivalenz zwischen Sätzen die mit „Der Bauer…“ beginnen und Sätzen, die mit „Alle Bauern…“ beginnen. „Der Bauer kann so und so bewegt werden“ ist sinn-identisch mit „Alle Bauern können so und so bewegt werden.“ Also: Die Holzstücke auf dem Schachbrett sind Bauern, sie sind nicht nur Zeichen von Bauern. So wie jeder einzelne Löwe ein Löwe ist, wenn man definiert: „Der Löwe ist gelbbraun und … und …“ und damit sagt: „Alle Löwen sind gelbbraun und … und …“
Man könnte einwenden, dass die Eigenschaften des Bauern im Schach von uns zugewiesen werden, während der Löwe diese Eigenschaften objektiv hat, unabhängig von unseren Definitionen. Aber gegen diesen Einwand kann man weitere Beispiele ins Feld führen: ist ein Stift ein Stift, weil der Satz gilt: „Mit dem Stift (mit allen Stiften) kann man schreiben.“?
Mit diesen Beispielen ausgestattet kann man sich nun den mathematischen Entitäten (Zahlen, geometrische Objekte) wieder nähern. Dann wäre jeder Klang und jedes Tintenzeichen auf Papier, das ich als „drei“ erkenne, tatsächlich eine „Drei“, da sie ein Exemplar jener Objekte ist, für die bestimmte Regeln definiert sind, so wie für die Bauern im Schach. Frege ist zu widersprechen, Schachfiguren und Zahlen sind gleichermaßen objektiv und wirklich. Wenn es keine Schachspieler mehr gibt, gibt es keine Schachfiguren mehr, sondern nur noch Holzstücke, wenn es niemanden mehr gibt, der rechnen kann, gibt es auch keine Zahlen mehr, auch wenn Freges Bücher noch in den Regalen stehen. Aber solange diese Experten nicht ausgestorben sind, sind die Zeichen auf Papier wirklich, und sie sind Zahlen.
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am 3. Juni 2008 um 20:53
welcome back, Joerg!
Das mit der Objektivität ist nicht so trivial. Die Bedeutung des Begriffes hat sich im Laufe der Zeit gewandelt, seit dem Mittelalter gar in ihr Gegenteil verkehrt. Bedeutungen sind nicht statisch, angesichts der dominant-verführerischen Rolle von bildgebenden Verfahren derzeit … man wird sehen.
s.a. L.Daston, Objektivität, ISBN 978-3518584866
am 3. Juni 2008 um 21:17
Zahlen sind selbst nicht real, erst die Messung der Realität macht das „Spiel mit Zahlen“ sinnvoll bzw. erfolgreich. Zahlen trennen erst einmal, das ist oft sehr zweckmässig.
Genau so verhält es sich, um im Bild zu bleiben, mit den Bauern im Schach, für sich genommen sind es keine Bauern.
In der IT hätten wir halt wieder diese Sache mit der Realität, deren Nachbildung im IT-System per Kodierung in Daten und die Anwendungsfälle, die in Abstraktion „gipfeln“.
am 4. Juni 2008 um 08:52
Was bin ich froh, das hier mal wieder nach längerer Zeit ein Beitrag zu finden ist – hatte wirklich schon ein bißchen Angst, das du nichts mehr schreibst!!
Und zum Thema: das klingt jetzt erstmal „komisch“, was du da schreibst. Aber über das Thema habe ich mir auch schon Gedanken gemacht. Kernfrage: wieviel der Dinge die wir als selbstverständlich anerkennen (dazu zählen auch Zahlen) existieren auch wirklich unverfälscht so in unserer Umwelt und was hat sich der Mensch (ggf. als Hilfsmittel, um die Natur besser zu verstehen und beschreiben zu können) „dazugedacht“. Zahlen zählen sicher auch dazu. Ich habe mich zum Beispiel auch schon gefragt, ob wir als Mensch die Welt wirklich so sehen, wie sie ist oder ob sie ganz anders aussieht. Es gibt ja zum Beispiel Tiere, die nur schwarz-weiß sehen können, Igel sehen alles in Gelb-Tönen, wenn ich mich nicht irre. Wie sieht die Natur denn wirklich aus? Sehen wir sie so, wie sie richtig ist? Wer sieht sie richtig? Die Farbenlehre hat sich der Mensch doch auch nur ausgedacht, um die Natur besser beschreiben zu können, genau wie die Zahlen!
am 5. Juni 2008 um 20:15
Schön, dass ihr euch freut, dass ich wieder schreibe. Der Text ist eine Vorbereitung für einen Vortrag, den ich Samstag halten werde, danke für Eure Kommentare. Eine Erwiderung kommt dann in der nächsten Woche, nach dem Vortrag (und der dort hoffentlich entstehenden Diskussion).
am 15. September 2008 um 17:42
Das Kernproblem besteht für mich in der Schwierigkeit, die Anhäufung von drei Entitäten zu beschreiben/erklären/definieren ohne ein entsprechendes Wort oder Symbol zur Verfügung zu haben.
3 Elektronen im All sind für mich objektiv und wirklich. Ich kann sie jederzeit klar von 2 oder 4 Elektronen unterscheiden (und jeder andere auch).
Basis ist hierbei sicher die 1, da hier klar unterschieden werden kann zwischen kein Elektron und ein Elektron.
Die weiteren Mengen lassen sich dann klar durch rekursives Anwenden von ‚1 + Rest‘ erreichen. Das, was ich dann benötige, um die einzelnen Mengenvorkommen zu zählen/klassifizieren sind entsprechende Symbole. 1,2,3,4
Diesen willkürlich zugeordneten Symbolen dann mystische Relevanz oder Bewusstseinsrelevanz zuzuordnen ist für mich ähnlich der Projektion und Rückprojektion in der Astrologie….
Das Sternbild heißt Waage weil die Sternanordnung so aussieht (es irgendjemand meinte zu sehen).
Nach Vergebener Definition haben alle Waagegeborenen ein ausgeglichenes Wesen, da sie im Sternbild Waage geboren sind.
Selbst wenn nachweislich von jedem Sternzeichen eine kosmische Kraft die Psyche der Menschen steuern würde, bliebe die Rückprojektion Unsinn, da einem willkürlich gewählten Begriff eine daraus resultierende Eigenschaft zugesprochen wäre.
Holger
am 17. September 2008 um 14:46
Ganz so voraussetzungslos ist deine Beobachtung der drei Elektronen nicht. Du brauchst dazu zuerst mal den Begriff der Klasse der Elektronen, d.h., du musst bereit sein, diese drei Dinger da im All als irgendwie gleichartig anzuerkennen. Du könntest sie ja auch ansehen als ein Ding und ein anderes Ding und noch ein weiteres Ding, die zueinander in keiner verwandschaftsbeziehung stehen. Sodann setzt du, um sie als drei zu erkennen, schon eine Vorstellung von einer Zahl vorraus. Das ist nicht selbstverständlich und auch nicht angeboren. Wozu überhaupt die verschiedenen Elektronen gemeinsam ansehen, warum sie zählen?
am 17. September 2008 um 15:17
Klar. Da es aber um Zahlen und zählen ging, hatte ich vorausgesetzt, daß die zu zählende Menge auch als solche erkannt wird.
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Sodann setzt du, um sie als drei zu erkennen, schon eine Vorstellung von einer Zahl voraus.
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Genau das hatte ich (glaube ich) vermieden.
Zahlen
1. Mengen müssen als Mengen gleichartiger Etwas erkannt werden (Elektronen)
2. Mengen gleicher Mächtigkeit müssen als solche erkannt werden.
3. jeder Mächtigkeit wird ein Symbol zugeordnet (1,2,3…)
zählen
1. Es muß erkannt werden, daß unterschiedliche Mächtigkeiten durch einen Algorithmus verknüpft sind.
2. Der Algorithmus, wie gelange ich von der Menge 1 zur Menge 2 oder worin besteht der Unterschied zwischen Menge 5 und Menge 2 muß gefunden und festgelegt werden.
Aus ‚wissender‘ Sicht ist für mich das Problem, wie ein zu zählen wünschendes Individuum, das ja noch keine Zahlen kennt, darüber nachdenken kann.
Es muß zweifellos die Menge von 3 Elektronen als solche erkennen können und von der Menge von 2 Elektronen unterscheiden können, das jedoch ohne Zahlen zu kennen oder zählen zu können.
Irgendwie muß man schon in Zahlen (Mengenmächtigkeiten) denken können, um Zahlen und zählen erfinden zu konnen.
Holger